Notation physikalischer Einheiten

Die Angabe von physikalischen Einheiten ist eine grundlegende, geradezu tägliche Praxis im Leben eines Ingenieurs oder jeder anderen Person mit Praxisbezug zur Physik. Umso erstaunlicher ist es, wie zäh sich eine notorisch falsche Schreibweise, bei der die Einheit von eckigen Klammern umgeben ist, hält. Sie ist nicht nur normverletzend, sondern auch widersinnig. Diese falsche Schreibweise ist einer Pandemie gleich, der Ingenieure auf allen akademischen Ebenen verfallen sind. Es folgt ein Plädoyer für die korrekte Schreibweise.

Physikalische Gleichung

Sei es im Fließtext, in Tabellen oder in Diagrammen, sei es im E-Mail, in Präsentationen oder Schriftwerken, ständig sind wir in der Situation, dass wir Zahlenwerte mit physikalischen Einheiten zusammensetzen, um physikalische Größen zu formen. Wollen wir sagen, dass die Zeit \(t\) eben zwei Sekunden beträgt, dann schreiben wir als Gleichung:

\[\begin{align} t = 2 \, \mathrm{s} \end{align}\]

Das ist zunächst keine mathematische Gleichung. Sie drückt einen physikalischen Sachverhalt aus: Sie sagt vorerst lediglich, dass die physikalische Größe \(t\) auf der linken Seite eben dem Ding “zwei Sekunden” auf der rechten Seite entspricht, und das Ding “zwei Sekunden”, oder in einer anderen Schreibweise halt “\(2 \, \mathrm{s}\)”, ist als ein einziges Objekt zu interpretieren.

Erst dadurch, dass wir das eine Ding “zwei Sekunden” nun zerlegen, nämlich in ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit, wird aus der physikalischen Gleichung oben auch eine mathematische Gleichung. Ab jetzt ist “zwei Sekunden” das Produkt aus dem Zahlenwert “zwei” und der Einheit “Sekunde”; ich möchte beinahe einen Multiplikationspunkt in \(2 \, \mathrm{s}\) hineinsetzen. Jetzt können wir rechnen, nach den üblichen algebraischen Rechenregeln, aber ansonsten nach Lust und Laune. Nutzen wir die neue Freiheit, machen wir einen Ausflug, und formen mathematisch (!) um:

\[\begin{align} \frac{t}{\mathrm{s}} = 2 \end{align}\]

Sie verspüren den Drang eine eckige Klammer um \(\mathrm{s}\) zu setzen? Widerstehen Sie! Fragen Sie sich stattdessen, warum Sie sich diese Kuckucksklammer während der Umformung unterschummeln lassen würden?

Sie wollen die eckige Klammer setzen, damit man weiß, dass \(\mathrm{s}\) die Einheit ist? Zum Ersten ist dem aufmerksamen Leser vielleicht aufgefallen, dass \(\mathrm{s}\) nicht kursiv gesetzt ist – im Gegensatz zu \(t\) – um zwischen Einheit und Größe zu unterscheiden. Zum Zweiten haben wir die eckige Klammer für andere Zwecke vorgesehen. Und zum Dritten wäre das eine Ignoranz gegenüber mathematischer Ästhetik; wo kämen wir da hin, wenn wir bei mathematischen Umformungen nach Wildwestmethoden bedeutungsvolle Klammern einfügen?1

Größe, Zahlenwert und Einheit

Die eckige Klammer hat natürlich seine Anwendung und das geht so: Eine (skalare) physikalische Größe \(a\) wird, wie oben erwähnt, als Produkt von Zahlenwert und Einheit dargestellt. Oder in einer symbolhaften Schreibweise:

\[\begin{align} a = \{a\} \cdot [a] \end{align}\]

Hier ist \(\{a\}\) die symbolhafte Schreibweise für “der Zahlenwert der Größe \(a\)” und \([a]\) steht für “die Einheit der Größe \(a\)”. Wir können also die Klammern als eine Art “Operator” sehen. Wenden wir das neue Werkzeug gleich für das obige Beispiel von \(t = 2 \, \mathrm{s}\) an:

\[\begin{align} \{t\} &= 2 \\ [t] &= \mathrm{s} \end{align}\]

Zusammen ergibt das eben ganz schlüssig \(t = \{t\} \cdot [t] = 2\, \mathrm{s}\). Aber das ist nicht alles. Wenn wir zwei Größen \(a\) und \(b\) haben, dann leuchtet jedem ein, dass \(\{a \cdot b\} = \{a\} \cdot \{b\}\) für Zahlenwerte gilt, immerhin reden wir hier von reellen Zahlen; die wird man wohl noch multiplizieren dürfen! Nun ergibt es sich, dass das aber auch für Einheiten gilt, also \([a \cdot b] = [a] \cdot [b]\). Sagen wir, eine träge Masse \(m = 3 \, \mathrm{kg}\) erfährt eine (skalare) Beschleunigung \(a = 2 \, \mathrm{m/s^2}\). Dann gilt nun für die (skalare) Kraft \(F\), die dafür verantwortlich ist:

\[\begin{align} F &= m \cdot a\\ &= \{m\} [m] \cdot \{a\} [a] \\ &= 3 \, \mathrm{kg} \cdot 2 \, \mathrm{m/s^2} \\ &= 3 \cdot 2 \cdot \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s^2} \\ &= 6 \, \mathrm{kg \, m/s^2} \\ &= \{m\cdot a\} \cdot [m\cdot a] \\ \end{align}\]

Spürt ihr den Seelenfrieden bei dieser schönen Fügung? Wir rechnen2 mit Einheiten! Die Dimensionsprobe ist eine direkte Anwendung. Natürlich wollen wir keinesfalls um jede Einheit eine eckige Klammer geschrieben haben und gleichzeitig die Symbolik für “Einheit der Größe” dafür opfern, denn beides können wir der Eindeutigkeit wegen nicht haben.

Für physikalische Vektoren und Tensoren gilt in Bezug auf die Einheit das oben gesagte gleichermaßen. Es ist nur so, dass etwa eine vektorielle physikalische Größe \(\bf a\) sich nicht als Produkt aus Zahlenwert und Einheit ergibt, sondern stattdessen als Produkt aus (dimensionslosem) Betrag \(|\bf a|\) und Einheitsvektor \(\hat{\bf a}\), also \(\bf a = |a| \cdot \hat{a}\). Daher die etwas unelegante Formulierung mit der skalaren Beschleunigung und skalaren Kraft im obigen Beispiel.3

Das internationale Einheitensystem

Gute Notation ist ein Schlüssel für Kommunikation.4 So schreibt etwa der berühmte Mathematiker Whitehead5:

By relieving the brain of all unnecessary work, a good notation sets it free to concentrate on more advanced problems, and in effect increases the mental power of the race. Before the introduction of the Arabic notation, multiplication was difficult, and the division even of integers called into play the highest mathematical faculties. Probably nothing in the modern world would have more astonished a Greek mathematician than to learn that, under the influence of compulsory education, a large proportion of the population of Western Europe could perform the operation of division for the largest numbers.

Nun hilft uns die beste Notation nichts, wenn Sie sich nicht als Standard in der Praxis etabliert. Hier kommt das gesetzlich vorgeschriebene SI System zur Hilfe und dieses folgt genau der oben ausgeführten Notation für Einheiten, wie man etwa in dieser (etwas veralteten6 8. Auflage von 2007 der) PTB-Ausgabe nachlesen kann, oder auch in diesem Dokument von Rhode & Schwarz zum normgerechten Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen. Schlagen Sie im letztgenannten Dokument etwa einmal den Abschnitt Zugeschnittene Größengleichungen sowie Zahlenwertgleichungen nach. In Österreich wird die Verwendung durch das Maß- und Eichgesetz (MEG) seit 1973 gesetzlich vorgeschrieben, so wie das auf ähnliche Weise in vielen anderen Ländern auch der Fall ist.

Das Fundament hierfür hat Julius Wallot in seinem 1953 erschienen Werk Größengleichungen, Einheiten und Dimensionen gelegt, welches ich leider nicht besitze.

Diagramme, Tabellen und LaTeX

In Diagrammen tragen wir an den Achsen keine physikalische Größen auf, sondern nur die Zahlenwerte. (Wir nehmen hier an, dass wir auch tatsächlich Zahlenwerte vorliegen haben.) Ähnliches gilt typischerweise auch für Tabellen, wo wir nicht in jedem Tabelleneintrag die Einheiten mitführen. Wie wir zum Zahlenwert \(\{a\}\) einer Größe \(a\) kommen, wissen wir aber bereits; durch mathematische Umformung:

\[\begin{align} \{a\} = \frac{a}{[a]} \end{align}\]

Das heißt mit anderen Worten, wir tragen in einem Diagramm nicht die Zeit \(t\) auf, sondern \(t/\mathrm{s}\), wir tragen nicht die Masse \(m\) auf, sondern \(m/\mathrm{kg}\).

In LaTeX – die einzige, unangefochtene Textsetzungssoftware für Texte mit Wissenschaftsbezug und überhaupt – empfiehlt sich übrigens die Verwendung des Pakets siunitx. Das Paket sorgt für die richtige Formatierung, von der Wahl der Schriftauszeichnung bis zu den Abständen zwischen Zahlenwert und Basiseinheiten, inklusive Winkelangaben, Prozentangaben, den SI Präfixen, Zahlenausrichtung bei Wertetabellen und so weiter.

Persönliche Schlussbemerkung

Dass Falschanwendungen der eckigen Klammern derart weit verbreitet sind, überrascht mich persönlich vielleicht auch deshalb, weil ich die korrekte Notation in den ersten Wochen in der ersten Klasse an der HTL Braunau bei meinem damaligen Lehrer Dieter Fleischmann gelernt habe.

An dieser Stelle empfehle ich wärmstens das von ihm geschriebene Fachbuch Basiswissen Elektrotechnik, und konkret Abschnitt 1.3 Darstellung physikalischer Größen. (Es ist das einzige mir bekannte Fachbuch mit geistreichem Witz.) Das Buch beschreibt sich selbst wohl am besten:

Die Beschreibungen aller technischen Verfahren und Methoden werden ausnahmslos auf die zugrunde liegenden physikalischen Naturgesetze zurückgeführt. Dadurch unterscheidet sich die Darstellung von allen anderen über dasselbe Sachgebiet.

So ist es.

  1. Dann müssten Sie schon aufs Ganze gehen und überall die eckige Klammer um Einheiten setzen, beginnend mit der ersten Gleichung \(t = 2\mathrm{s}\) und an jeder weiteren Stelle im Text. Behalten Sie das im Kopf, wenn Sie weiterlesen. 

  2. Der Mathematiker Leibnitz sagte: “Lasst uns rechnen!”. Es verbirgt sich hier die Idee, dass man in einem System “blind” rechnen kann und, solange man sich an die Rechenregeln hält, stets zu korrekten Aussagen kommt. Die Kraft, die dahinter steht, erkennt man etwa in der analytische Geometrie, wo man geometrische Sachverhalte häufig einfacher errechnen (!) kann, anstatt sie durch Konstruktionen zu ermitteln. Algebra for the win! 

  3. Ich möchte weiters anmerken, dass ein physikalischer Vektor etwas anderes ist als ein mathematischer Vektor, der physikalische dreidimensionale Raum etwas anderes als der mathematische \(\mathbb{R}^3\), so wie eine physikalische Größe etwas anderes ist als eine mathematische Variable. Aber dazu vielleicht ein anderes Mal. 

  4. George Orwell beschreibt im Roman 1984, wie Sprache einen Einfluss auf das Denken hat. 

  5. Seite 22 in Alfred North Whitehead. An Introduction to Mathematics. Oxford University Press, 1958. isbn: 9780195002119. 

  6. Seit 2019 werden alle Basiseinheiten über fundamentale physikalische Konstanten definiert. Aber das berührt die Notation von Einheiten nicht.